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康托爾:集合論,傳記和家庭數學

康托爾(後來的照片顯示在文章中) - 誰開發的集理論,並介紹超限數,無限大的,但彼此不同的概念,德國數學家。 他還介紹了序和基數的定義,並建立了自己的算法。

康托爾:短傳

出生於聖彼得堡1845年3月3日。 他的父親是丹麥新教徒喬治·瓦爾德馬康托爾,從事貿易,在卷H.並在證券交易所。 他的母親,瑪麗,貝姆是天主教徒,並從家庭顯赫的音樂家來了。 當1856年他的父親喬治病倒,家人在尋找一個氣候溫和的剛搬到威斯巴登然後飛往法蘭克福。 數學天賦,男孩他的15歲生日之前,而在私立學校和達姆施塔特,威斯巴登公立學校就讀的出現。 最後,康托爾說服他下了決心的父親成為一名數學家,而不是一名工程師。

在蘇黎世於1863年康托大學的簡短培訓後,被轉移到柏林大學學習物理,哲學和數學。 在那裡,他被教導:

  • 卡爾·特奧多爾·維爾斯特拉斯,其在分析專業化,可能對喬治的影響最大;
  • 恩斯特·庫默爾,誰教的最高運算;
  • 利奧波德·克羅內克,數論專家,誰後來反對康托。

在哥廷根1866年大學已經花了一個學期,明年喬治寫他的博士論文的標題下“在數學中,提問的藝術比解決問題更有價值的”關於那個卡爾·弗里德里希·高斯留在他的算術研究尚未解決的問題(1801) 。 在柏林女校教學簡要坎特後開始在哈雷,在那裡他,直到他生命的最後的大學工作,首先作為一個講師,自1872年以來擔任助理教授,並自1879年第一次擔任教授。

研究

在一系列的從1869年10件作品以1873年的開始,康托爾認為數論。 該作品反映了他研究的課題和高斯克羅內克效果的激情。 在海因里希·愛德華·海涅的建議,康托的同事在哈雷,誰認識他的數學天賦,他轉身三角級數理論,從而擴大了實數的概念。

基於在1854年德國數學家黎曼的复變量的功函數,在1870年坎托已經表明,這樣的功能可以僅在一個方式表示 - 用三角級數。 考慮一組數字(點),這不會違背這一觀點的,領著他,擺在首位,在1872年,以定義無理數的有理數(整數部分)的收斂序列的條款,然後對他一生的工作工作的開始,集理論和超限數的概念。

集合論

康托爾,這台源自與布倫瑞克數學家理查德·戴德的技術學院通信理論,與他的朋友從小。 他們的結論是集,有限的或無限的,是多個元件(例如,數字{0,±1,±2 ...}),其具有一定的特性,同時保持自己的個性。 但是,當康托爾應用於研究它們的特性一一對應(例如,{A,B,C}到{1,2,3}),他很快意識到他們在他們的從屬關係度不同,即使它是無限集合,T即組塊或子集,其包括相同數量的對象,因為它是本身。 他的方法很快就放棄了驚人的成績。

在1873年,康托爾(數學家)顯示有理數,雖然無限的,是可數的,因為它們可以被放置在一對一對應的天然(即E. 1,2,3,。D.)。 他指出,該套件包括理性和非理性的,和不可數無限的實數。 什麼一個悖論,康托爾證明了集所有代數數包含的元素的所有整數的集合,並且超越數不屬於代數,這是無理數的一個子集是不可數的,因此它們的數量比整數更大並應被視為無限的。

反對者和支持者

但工作康托爾,在他第一次提出的結果,並沒有發表在“克雷爾”雜誌評為評論家之一,克羅內克反對。 但是,戴德干預後,這是發表在1874年的標題下“所有實代數數的特點。”

科學和個人生活

同年,與他的妻子,瓦利·古特曼在瑞士因特拉肯蜜月期間,會見了康托誰戴德金在他的新理論親切評論。 喬治工資是小,但用錢他的父親,誰在1863年去世後,他已建立了他的妻子和五個孩子回家。 他的許多作品已發表在瑞典的新雜誌ACTA數學,編輯和創始人,該公司的是約斯塔米塔格 - 萊弗勒,首先要認識德國數學家的人才之一。

與形而上學通信

理論坎托是有關數學無限研究(例如,序列1,2,3,。D.,和更複雜的集合),這在很大程度上依賴於一對一對應完全新的課題。 的設置涉及連續性和無窮大問題的新方法康托爾發展借給他的研究混合。

當他認為無限的數字真的存在,他轉向了古代和中世紀哲學方面的實際和潛在的無窮大,以及早期的宗教教育,其父母給他。 1883年,在他的著作“套一般理論基礎”坎特結合了他柏拉圖的形而上學的概念。

克羅內克也,誰宣稱,“有”只有整數(“上帝創造了整數,其餘的 - 人的工作”),多年來強烈反對他的觀點,並阻止他任命為柏林大學。

超限數

在1895年至1897年GG。 康托爾完全形成了連續性和無窮,包括循環順序和基數的想法,在他最著名的作品,在標題為“貢獻超限數理論”(1915)出版。 這項工作包括他的構想,現在,他帶領一組無限可在一一一對應,其子集的一個傳遞的演示。

最小超限基數他指的是任何一組,它可以放在一個一一對應與自然數的電源。 坎特形容他阿列夫零。 大超限多個阿勒夫指定一個,兩個或阿萊夫噸。D.它進一步發展算術序,這是類似於有限算術。 因此,他豐富無窮大的概念。

反對黨他面對,並花了,以確保他的想法是完全接受的時候,解釋了什麼是數字古老問題重估的複雜性。 坎特顯示,上線的一個點集比阿列夫零更高的容量。 這導致了連續統假設的眾所周知的問題 - 阿列夫零和線路上無電源點之間沒有主教。 這個問題在20世紀的上半年和下半年是極大的興趣,並通過許多數學家進行了研究,在卷H.哥德爾和保羅·科恩。

蕭條

1884年傳Georga Kantora被他的早期精神病毀損,但他繼續積極努力。 1897年他幫助持有數學家的第一個國際大會在蘇黎世。 部分原因是因為他反對克羅內克,他經常同情年輕數學家嶄露頭角,並試圖找到一種方法,通過誰感到新的想法威脅教師騷擾保存。

承認

在世紀之交,他的工作是充分認識到,作為功能,分析和拓撲理論的基礎。 此外,Kantora Georga書曾擔任數學邏輯基礎的形式主義和直覺主義學派的進一步發展的動力。 這顯著改變教學系統,並經常與相關的“新數學”。

1911年,坎特那些受邀聖安德魯斯蘇格蘭大學500週年的慶祝活動之一。 他去那裡希望能滿足羅素,誰在他最近出版的作品數學原理多次提到了德國數學家,但這種情況並未發生。 大學授予康托爾的榮譽學位,但由於生病,他無法接受的人的獎勵。

康托爾退休於1913年,生活在貧困和第一次世界大戰期間餓死了。 在他於1915年70歲生日紀念慶祝活動,因為戰爭而取消,但一個小儀式在他的家鄉舉行。 他死於1918年6月1日,在加勒,在精神病醫院,在那裡他度過了他的晚年的。

康托爾:一個傳記。 家庭

1874年8月9日,德國數學家結婚瓦利·古特曼。 夫婦有4個兒子和2個女兒。 最後一個孩子出生於1886年在康托爾購買一個新的家。 支持他幫助他的父親的遺產家庭。 康托爾的健康狀況大大影響了他的小兒子的死亡在1899年 - 因為它從來沒有離開過抑鬱症。

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