規則多面體：元素，對稱性和麵積

幾何是美麗的，與代數不同，它不總是清楚什麼和為什麼你的想法，它給對象的可見性。 這個令人驚異的不同身材的世界都用普通的多面體裝飾。

常規多面體的一般信息

根據許多，普通多面體，或稱為柏拉圖式的身體，具有獨特的性質。 幾個科學假說與這些對像有關。 當你開始研究這些幾何體時，你明白，你幾乎不知道這樣的概念，如普通多面體。 這些對像在學校的介紹並不總是有趣的，所以很多人甚至不記得他們被稱為什麼。 在大多數人的記憶中，只有立方體依然存在。 幾何體中的幾何體都沒有像正多面體那樣完美。 這些幾何體的所有名稱源於古希臘。 它們是指面數：四面體 - 四面體，六面體 - 六面體，八面體 - 八面體，十二面體 - 十二面體，二十面體 - 二十面體。 所有這些幾何體都佔據了柏拉圖宇宙觀念中最重要的地位。 其中四個代表元素或精華：四面體 - 火，二十面體 - 水，立方體 - 地球，八面體 - 空氣。 十二面體體現了所有存在的東西。 他被認為是主要的，因為它是宇宙的象徵。

多面體概念的泛化

多面體是有限數量的多邊形的集合，使得：

• 任何多邊形的每一邊同時是同一側的另一個多邊形的一側;
• 從每個多邊形，你可以去通過相鄰多邊形的其他人。

構成多面體的多邊形是其面，它們的邊是邊。 多邊形的頂點是多邊形的頂點。 如果一個多邊形的概念被理解為平面的閉合多邊形線，那麼一個多面體就是相同的定義。 在這個術語是指由虛線限定的平面的一部分的情況下，需要理解由多邊形片組成的表面。 凸多面體是位於與其表面相鄰的平面的一側上的身體。

多面體及其元素的另一個定義

多面體是由多邊形組成的表面，其界定幾何體。 他們是：

• 非凸;
• 凸（對和錯）。

正多面體是具有最大對稱性的凸多面體。 普通多面體元素：

• 四面體：6個邊，4個面，5個頂點;
• 六面體（立方體）：12,6,8;
• 十二面體：30，12，20;
• 八面體：12,8,6;
• 二十面體：30,20,12。

歐拉定理

它建立了與球體拓撲相等的邊數，頂點和麵數之間的連接。 將不同規則多面體的頂點數和麵數（B + D）相加，並將其與邊數進行比較，可以建立一個規律性：面數和頂點之和等於邊數（P）增加2.可以得出一個簡單的公式：

• B + F = P + 2。

這個公式對於所有凸多面體都是正確的。

基本定義

普通多面體的概念不能用一句話來描述。 它更多義和龐大。 為了使身體得到承認，必須符合許多定義。 因此，當滿足以下條件時，幾何體將是正多面體：

• 它是凸的
• 相同數量的邊會聚在其每個頂點;
• 它的所有面都是相互相等的規則多邊形;
• 它的所有二面角都相等。

普通多面體屬性

普通多面體有5種不同類型：

1. 立方體（六面體） - 在90°的頂點處具有平坦的角度。 它具有3面角度。 頂點的平面角之和為270°。
2. 四面體在60°的頂點處是平坦的角度。 它具有3面角度。 頂點的平面角之和為180°。
3. 八面體在60°的頂點處是平坦的角度。 它有一個四角角。 頂部平面角之和為240°。
4. 十二面體在108°的頂點處是平坦的角度。 它具有3面角度。 頂點的平面角之和為324°。
5. 二十面體 - 它在頂部 - 60°處具有平坦的角度。 它有一個5面的角度。 頂點的平面角之和為300°。

正多面體的面積

這些幾何體（S）的表面積被計算為正多邊形的面積乘以其面數（G）的面積：

• S =（a：2）×2G ctgπ/ p。

常規多面體的體積

該值通過將正則棱錐的體積（其基底是正多邊形）乘以面數來計算，其高度是內接球體的半徑（r）：

• V = 1：3rS。

常規多面體的體積

像任何其他幾何體一樣，正多面體具有不同的體積。 以下是可以計算它們的公式：

• 四面體：αх3√2：12;
• 八面體：αх3√2：3;
• 二十面體; Α3
• 六面體（立方體）：5хαх3х（3 +√5）：12;
• 十二面體：αх3（15 +7√5）：4。

常數多面體的元素

六面體和八面體是雙重幾何體。 換句話說，在將一面的重心作為另一個的頂點的情況下，它們可以彼此獲得，反之亦然。 此外，二十面體和十二面體是雙重的。 只有四面體本身是雙重的。 通過歐幾里德的方法，可以通過在立方體的面上構造“屋頂”，從六面體獲得十二面體。 四面體的頂點是沿邊緣成對成對的立方體的任何4個頂點。 從六面體（立方體）可以獲得其他規則的多面體。 儘管 常規多邊形 具有無限數量的規則多面體，但只有5個。

常規多邊形的半徑

使用這些幾何體中的每一個，連接3個同心球體：

• 描述，穿過其頂點;
• 它被銘刻，觸及其中心的每個面孔;
• 中間，觸摸中間的所有肋骨。

所述球體的半徑由下式計算：

• R = a：2 x tgπ/ g x tgθ：2。

刻錄的球體的半徑由下式計算：

• R = a：2×ctgπ/ p×tgθ：2，

其中θ是位於相鄰面之間的雙面角。

中值球半徑可以通過以下公式計算：

• Ρ= a cosπ/ p：2sinπ/ h，

其中h是4.6,6.10或10的值。所描述的和內切半徑的比率對於p和q是對稱的。 它由公式計算：

• R / r = tgπ/ p×tgπ/ q。

多面體的對稱性

規則多面體的對稱性導致這些幾何體的主要興趣。 它被理解為在空間中的身體的移動，其留下相同數量的頂點，面和邊。 換句話說，在對稱變換的作用下，邊緣，頂點或面部保持其原始位置，或移動到另一邊緣，另一個頂點或面部的原始位置。

規則多面體的對稱元素在各種這樣的幾何體中是固有的。 在這裡，我們談論的是身份轉換，這使得任何一點都處於原始位置。 因此，當旋轉多棱柱時，可以獲得幾個對稱性。 它們中的任何一個都可以表示為反射的產物。 對稱性是偶數次反射的產物，稱為線。 如果它是奇數次反射的乘積，則稱為反向。 因此，直線周圍的所有旋轉代表直接對稱。 多面體的任何反射都是反對稱的。

為了更好地理解正多面體的對稱元素，我們可以舉一個四面體的例子。 任何通過頂點和該幾何圖形的中心的直線將穿過與其相對的面的中心。 線周圍的120和240°的每一個扭曲屬於四面體的多個對稱性。 由於他有4個頂點和麵，只有8個直接對稱。 穿過肋骨中部和身體中心的任何直線穿過其相對邊緣的中部。 圍繞線的任何180°的旋轉，稱為半圈都是對稱的。 由於四面體具有三對邊緣，所以有三個更直接的對稱性。 從上述可以得出，直接對稱的總數，包括相同的變換，將達到十二個。 四面體沒有其他直接對稱性，但它具有12個對稱性。 因此，四面體僅具有24個對稱性。 為了清楚起見，您可以從紙板構建一個正四面體的模型，並確保這個幾何體真的只有24個對稱性。

十二面體和二十面體是最接近球體的體。 二十面體具有最大數量的面，最大的二面角，最接近的是嵌套球體。 十二面體具有最小的角度缺陷，頂點處最大的立體角。 他可以盡可能地填寫他所描述的領域。

部署多面體

在童年時期，我們都粘在一起的正確的掃面多面體有許多概念。 如果有一個多邊形的集合，其每側都只有多邊形的一面，則側面的識別必須符合以下兩個條件：

• 從每個多邊形可以通過具有識別側面的多邊形;
• 識別方必須具有相同的長度。

它是滿足這些條件的多邊形的集合，稱為多面體的展開。 這些機構中的每一個都有幾個。 例如，立方體有11個。