作為餘弦輸出的衍生

餘弦的導數是類似 正弦的導數 的證據基礎-限制功能的定義。 有可能使用利用三角公式的另一種方法，用於驅動正弦和餘弦角度。 表達了一個又一個功能 - 通過正弦餘弦，正弦，並與複雜的參數區分。

考慮式的輸出的第一個例子（COS（X））'

得到可忽略的增量Δh的參數x和y = cos（x）的的。 如果參數x +Δh的的新值獲得COS函數（X +ΔH）的新值。 然後遞增量Δu功能將等於的Cos（X +ΔX）-cos（x）的。
增量函數的比率將是這樣的量Δh：（COS（X +ΔX）-cos（X））/Δh的。 繪製導致分數的分子身份轉換。 召回式差餘弦，其結果是乘以仙工作-2Sin（ΔH/ 2）（X +Δh的/ 2）。 我們通過的Δh找到極限LIM私人本產品時的Δh趨向於零。 已知的是，第一個（稱為卓越）極限LIM（茜（ΔH/ 2）/（ΔH/ 2））等於1，並限制-Sin（X +Δh的/ 2）等於-Sin（X）時ΔX，趨向於零。
我們寫結果：導數（COS（X））'是 - SIN（X）。

有些人喜歡導出相同的公式的第二方法

從三角已知：cos（x）是等於仙（0,5·Π-x）的類似的sin（x）為cos（0,5·Π-X）。 然後可微複雜的函數 - 一個額外的角度的正弦值（而不是X餘弦）。
我們獲得產物的Cos（0,5·Π-X）·（0,5·Π-X）'，因為x的正弦餘弦的衍生物為x。 訪問第二式的sin（x）= cos（0,5·Π-x）的取代餘弦和正弦，考慮（0,5·Π-X）= - 1。 現在，我們得到-Sin（X）。
因此，採取的餘弦的衍生物，我們'= -Sin（×）表示函數y = cos（x）的。

餘弦的平方衍生物

經常使用的例子中，使用餘弦的，其中導數。 函數y =的Cos ^2（x）的複合物。 我們發現與指數2中的第一差分功率函數，即2·cos（x），則它是由衍生物乘以（COS（X））'，其等於-Sin（X）。 獲得Y'= -2·cos（x）的·SIN（X）。 當適用仙式（2·X），雙角度的正弦值，獲得最終的簡化
響應Y'= -Sin（2·x）的

雙曲函數

適用於許多技術學科的數學研究，例如，使之更容易計算積分，解 微分方程。 它們在與假想參數的三角函數來表示，所以雙曲餘弦CH（X）=的Cos（I·X）其中，i - 是虛數單位，雙曲正弦SH（X）= SIN（I·X）。
雙曲餘弦簡單地計算。
考慮函數y ^{=（E X + E -x）} / 2，這是雙曲餘弦CH（X）。 使用查找衍生物兩個表達式，去除通常常數乘法器（常數）的總和為導數的符號的規則。 0.5第二項·電子^-x -复變函數（其衍生物是-0.5·電子^{-x），0.5·}女^X -中的第一項。 （CH（X））'=（（E ^X + E ^{- X）/} 2）'可以不同地寫入^{：（0,5·E·X} + 0.5ë ^{- X）'=} 0,5·E ^X -0,5·電子^{- X，}因為衍生物（E ^{- X）'}等於-1，至umnnozhennayaë ^{- X。} 其結果是差別，這是雙曲正弦SH（x）的。
結論：（CH（X））'= SH（x）的。
Rassmitrim如何計算函數y = CH（X ³ +1）的衍生物的例子。
通過區分規則與複雜的參數Y'= ^SH（×3 +1）·（X ³ +1）'雙曲餘弦其中（x ³ + 1）= 3·X ² + 0。
答：該函數的導數等於3·X ^2·SH（×3 +1）。

衍生物討論的功能的Y = CH（x）和Y = cos（x）的表

在這些實例的決定，沒有必要每次都來區分他們所提出的方案，使用輸出足夠。
實例。 區分函數y = cos（x）的+的Cos ^{2（-x）-CH（5·X）。}
這是很容易計算（使用表格數據）中，Y'= -Sin（X）+ SIN（2·X）-5·SH（X·5）。