幾何級數及其性質

幾何級數是數學作為一門科學的重要，以及應用的意義，因為它有一個範圍極其廣泛，即使是在 高等數學， 例如，在一系列的理論。 對進度的第一信息向我們走來，古埃及，特別是在紙莎草萊因德七人有七隻貓的一個眾所周知的問題的形式。 這個任務的變化是從其他國家不同時間重複多次。 即使是Velikiy萊昂納多Pizansky，被稱為斐波那契（十三角），對她說在他的“算盤書”。

這樣幾何級數有一個古老的歷史。 它表示具有非零第一構件的數值序列，並且每個隨後的，與所述第二開始是通過在被稱為分母進展的常數，非零數字之前的遞推公式相乘來確定（通常使用字母q表示）。
很明顯，它可以通過將序列的每個後續術語劃分到前一個發現，即，Z 2：Z 1 = ... =鋅：Z N-1 = .... 因此，對於大多數工作進展（ZN）足夠它知道分母和y 1 q的第一項的值。

例如，讓Z 1 = 7，Q = - 4（Q <0），則下面的幾何級數得到7 - 28，112 - 448，.... 正如你所看到的，所產生的序列不單調。

回想一下，單調的任意序列（增加/減少）時它的一個成員遵循比前一個更多/更少。 例如，序列2，5,9，...，和-10，-100，-1000，... - 單調，第二個 - 減小的幾何級數。

在其中，q = 1，所有成員被發現是，並且它被稱為恆定進展的情況。

順序為這種類型的進展，它必須滿足下列的充分必要條件，即：從第二開始，它的每一個成員應為鄰近成員的幾何平均值。

該屬性允許在一定的兩個相鄰的發現任意項級數。

第n個項指數地容易由式發現：鋅= Z 1 * Q ^（N-1）中，z知道第一構件1和分母Q值。

由於該 數列 有一筆，然後幾個簡單的計算給我們一個公式來計算的成員，即第一曲線的總和：

S n中= - （ZN * Q - Z 1）/（1 - Q）。

更換，在式中的表達值的Zn Z 1 * Q ^（N-1），以獲得進展的第二總和的公式：S n中= - Z1 *（Q ^ N - 1）/（1 - Q）。

值得關注以下有趣的事實：在發掘中發現的泥板 古巴比倫的 它指的是VI。 BC，包含了顯著的方式的總和1 + 2 + ... + 22 + 29等於2的10次方減1。這種現象的解釋還沒有被發現。

我們注意到幾何級數的性質中的一個 - 它的成員的一個恆定的工作，在從所述序列的末端的距離相等地間隔開。

從科學的角度來看，特別重要的，這樣的事，作為一個無限幾何級數和計算其量。 假設（炔） - 一個具有幾何級數分母Q，滿足條件| Q | <1時，其量將被稱作朝向我們已經知道它的第一個成員的總和限制，其中n的無界增加，則有在它接近無窮大。

發現該量為使用下式的結果：

S n中= Y 1 /（1-Q）。

而且，因為經驗表明，這一進展的貌似簡單，其實隱藏著巨大的應用潛力。 例如，如果我們構建根據以下算法平方的序列，連接前一個的中點，那麼它們形成具有分母1/2的正方形無限幾何級數。 同一級數形式和 三角形的面積， 獲得的結構的每一個階段，並且其總和等於原始正方形的面積。